LANGKAH-LANGKAH MENYELESAIKAN INVERS MATRIKS ORDO 3X3

Cara Menyelesaikan Invers Matriks ordo 3x3  . Untuk Mendapatkan matriks unsur invers 3x3 kita perlu memahami matriks - matriks berikut :

1. Matriks Kofaktor
2. Adjoin
3. Nilai elemen
4. rumus invers Matriks ordo 3 x 3

Keterangan :

• Matriks Kofaktor adalah matriks yang unsurnya diganti dengan nilai determinan yang unsurnya tidak sebaris dan tidak sekolom dengan unsur asal. Untuk tandanya digunakan tanda positif negatif saling bergantian.

• Adjoin adalah matriks kofaktor yang di Transposkan ( baris jadi kolom , kolom jadi baris )

Oke langsung ke contoh soal berikut ini :

Carilah Invers matriks dari A diatas !!

Langkah pertama maka kita harus mencari kofaktor dari A , dengan cara sbb:

Langkah kedua,  Setelah hasil dari Kofaktor A ditemukan , maka kita mencari ADJOIN nya = 

Langkah ketiga , Mencari nilai determinan A :

Langkah terakhir adalah mencari invers matriks A dengan rumus :

Invers Matriks nxn = 1 / nilai determinan . Matriks Adjoinnya

jadi matriks invers A adalah =

PENYELESAIAN MATRIKS DETERMINAN ORDO 3X3

Ordo 3x3

• Determinan dengan Ekspansi Kofaktor

Terbagi tiga jenis yaitu:

• Dengan Minor dan Kofaktor
• Dengan Ekspansi Kofaktor Pada Baris Pertama
• Dengan Ekspansi Kofaktor Pada Kolom Pertama

• Determinan dengan Minor dan kofaktor

A =  tentukan determinan A

Pertama buat minor dari a₁₁

M₁₁ =  = detM = a₂₂a₃₃ - a₂₃a₃₂

Kemudian kofaktor dari a₁₁ adalah

c₁₁ = (-1)¹⁺¹M₁₁ = (-1)¹⁺¹a₂₂a₃₃ - a₂₃a₃₂

kofaktor dan minor hanya berbeda tanda C_ij=±M_ij untuk membedakan apakah kofaktor pada _ij adalah + atau - maka kita bisa melihat matrik dibawah ini

Begitu juga dengan minor dari a₃₂

M₃₂ =  = detM = a₁₁a₂₃ - a₁₃a₂₁

Maka kofaktor dari a₃₂ adalah

c₃₂ = (-1)³⁺²M₃₂ = (-1)³⁺² x a₁₁a₂₃ - a₁₃a₂₁

Secara keseluruhan, definisi determinan ordo 3x3 adalah

det(A) = a₁₁C₁₁+a₁₂C₁₂+a₁₃C₁₃

Contoh Soal:

A =  tentukan determinan A dengan metode Minor dan kofaktor

Jawab:

c₁₁ = (-1)¹⁺¹ = 1 (-3) = -3

c₁₂ = (-1)¹⁺² = -1 (-8) = 8

c₁₃ = (-1)¹⁺³ = 1 (-7) = -7

det(A) = 1 (-3) + 2 (8) + 3 (-7) = -8

• Determinan dengan Ekspansi Kofaktor Pada Baris Pertama

Misalkan ada sebuah matriks A_3x3

A = 

maka determinan dari matriks tersebut dengan ekspansi kofaktor adalah,

det(A) = a₁₁ - a₁₂ + a₁₃

= a₁₁(a₂₂a₃₃ - a₂₃a₃₂) - a₁₂(a₂₁a₃₃ - a₂₃a₃₁) + a₁₃(a₂₁a₃₂ - a₂₂a₃₁)

= a₁₁a₂₂a₃₃ + a₁₂a₂₃a₃₁ + a₁₃a₂₁a₃₂ - a₁₃a₂₂a₃₁ - a₁₂a₂₁a₃₃ - a₁₁a₂₃a₃₂

Contoh Soal:

A =  tentukan determinan A dengan metode ekspansi kofaktor baris pertama

Jawab:

det(A) =  = 1 - 2 + 3 = 1(-3) - 2(-8) + 3(-7) = -8

• Determinan dengan Ekspansi Kofaktor Pada Kolom Pertama

Pada dasarnya ekspansi kolom hampir sama dengan ekspansi baris seperti di atas. Tetapi ada satu hal yang membedakan keduanya yaitu faktor pengali. Pada ekspansi baris, kita mengalikan minor dengan komponen baris pertama. Sedangkan dengan ekspansi pada kolom pertama, kita mengalikan minor dengan kompone kolom pertama.

Misalkan ada sebuah matriks A_3x3

A = 

maka determinan dari matriks tersebut dengan ekspansi kofaktor adalah,

det(A) = a₁₁ - a₂₁ + a₃₁

= a₁₁(a₂₂a₃₃ - a₂₃a₃₂) - a₂₁(a₂₁a₃₃ - a₂₃a₃₁) + a₃₁(a₂₁a₃₂ - a₂₂a₃₁)

= a₁₁a₂₂a₃₃ + a₂₁a₂₃a₃₁ + a₃₁a₂₁a₃₂ - a₂₂(a₃₁)² - (a₂₁)²a₃₃ - a₁₁a₂₃a₃₂

Contoh Soal:

A =  tentukan determinan A dengan metode ekspansi kofaktor kolom pertama

Jawab:

det(A) =  = 1 - 4 + 3 = 1(-3) - 4(-4) + 3(-7) = -8

• Metode Sarrus

A =  tentukan determinan A

untuk mencari determinan matrik A maka,

detA = (aei + bfg + cdh) - (bdi + afh + ceg)

Contoh Soal:

A =  tentukan determinan A dengan metode sarrus

Jawab:

det(A) =  = (1x5x1 + 2x4x3 + 3x4x2) - (3x5x3 + 2x4x1 + 1x4x2) = 53 - 61 = -8

PENGENALAN MATRIKS

PENGERTAN DAN JENIS-JENIS MATRIKS

• Pengertian Martiks

Matriks adalah kumpulan bilangan yang disusun dalam bentuk baris dan kolom. Bilangan yang tersusun dalam baris dan kolom disebut elemen matriks. Nama matriks ditulis dengan menggunakan huruf kapital.
Banyaknya baris dan kolom matriks disebut ordo matriks.
Bentuk umum:

• Jenis-jenis Matriks

1. Matriks baris adalah matriks yang hanya memiliki satu baris. Contoh :  A = [ 2  3  0  7 ]
2. Matriks kolom adalah matriks yang hanya memiliki satu kolom. Contoh : 
3. Matriks persegi adalah matriks yang jumlah kolomnya sama. Contoh:
4. Matriks Identitas adalah matriks persegi yang elemen-elemen pada diagonal utamanya1, sedangkan semua elemen yang lainnya nol. Contoh:
5. Matriks Segitiga Atas adalah matriks persegi yang elemen-elemen dibawah diagonal utamanya nol.                              Contoh: 
6. Matriks Segitiga Bawah adalah matriks persegi yang elemen-elemen diatas diagonal utamanya nol.                              Contoh:
7.   Matriks Nol adalah matriks yang semua elemennya nol. Contoh: 

• Operasi Pada Matriks

Pada matriks dikenal beberapa jenis operasi seperti penjumlahan, pengurangan, dan perkalian. Dalam masing-masing operasi tersebut punya karakteristik sendiri-sendiri. Berikut selengkapnya:
    1. penjumlahan Matriks
Penjumlahan matriks hanya dapat dilakukan terhadap matriks-matriks yang mempunyai ukuran (orde) yang sama. Jika A=(aij) dan B=(bij) adalah matriks-matriks berukuran sama, maka A+B adalah suatu matriks C=(cij) dimana (cij) = (aij)+(bij) atau [A]+[B] = [C] mempunyai ukuran yang sama dan elemennya (cij) = (aij) + (bij)
Contoh:

A+C tidak terdefinisi (tidak dapat dicari hasilnya) karena matriks A dan matriks B mempunyai ukuran yang berbeda
  2. Pengurangan Matriks
Sama seperti pada penjumlahan matriks, pengurangan matriks hanya dapat dilakukan pada matriks-matriks yang mempunyai ukuran yang sama. Jika ukurannya berbeda maka matriks hasil tidak terdefinisikan.
Contoh:

 3. Perkalian Matriks dengan Skalar
Jika k adalah suatu bilangan skalar dan A=(aij) maka matriks kA(kaij) yaitu suatu matriks kA yang diperoleh dengan mengalikan semua elemen matriks A dengan k. Mengalikan matriks dengan skalar dapat dituliskan di depan atau dibelakang matriks. Misalnya [C]=k[A]=[A]k dan (c_ij ) = (ka_ij )
Pada perkalian matriks dengan skalar berlaku hukum distributif dimana k(A+B)=kA+kB
Contoh: 
 4. Perkalian Matriks dengan Matriks
Beberapa hal yang harus diperhatikan:

1. Perkalian matriks dengan matriks umumnya tidak komutatif
2. Syarat perkalian adalah jumlah banyaknya kolom pertama matriks sama dengan jumlah banyaknya baris matriks kedua
3. Jika matriks A berukuran mxp dan matriks pxn maka perkalian A*B adalah suatu matriks C=(cij) berukuran mxn dimana

Contoh:

5. Transpose Matriks
Transpose dari suatu matriks merupakan pengubahan baris menjadi kolom dan kolom menjadi baris. Transpos dari matrik A dinotasikan A^T. Jadi mirip transpose yang ada di excel. Jika sebuah matriks berordo 3 x 4 ketika ditransporse akan menjadi matriks berorde 4 x 3. contoh:  
Dalam matriks dikenal istilah matriks simetri, yaitu matriks yang ketika ditranspose sama dengan sebelum ditranspos. Contoh:

Karena A = At maka A disebut matriks simetri.

    6. Determinan Matriks

Setiap matriks bujur sangkar mempunyai nilai determinan. Nilai determinan dari suatu matriks merupakan suatu skalar. Jika nilai determinan suatu matriks sama dengan nol, maka matrik tersebut disebut matriks singular. Matriks singular tidak mempunyai invers/ balikan.

Determinan dari matriks-matriks khusus:

                                                                                (a)  Matriks Diagonal

(b) Matriks Segitiga Atas

(c) Matriks Segitiga Bawah

 7. Invers Matriks
Invers hanya dipunyai oleh matriks yang  tidak singuler. Invers matriks A dinyatakan dengan A^-1 dan secara umum dirumuskan: